Obiective de referinţă

Continuturi recomandate

Activităţi de învăţare

Obiectiv cadru: I. Înţelegerea noţiunii de număr : natural, întreg, raţional, real, complex. Efectuarea operaţiilor cu numere

— Să recunoască elementele mulţimilor numerice stu-diate (N, Z, Q, R) şi să scrie numere reale folosind diverse forme.

— Să reprezinte geometric numerele reale si să utilize-ze terminologia aferentă noţiunilor de număr.

Noţiune de număr. Mulţimi de numere. Calcul numeric. Proprietăti

— reprezentare a numerelor reale pe axa de coordonate;

— Exerciţii semnificative care să evidenţieze avantajele folosirii proprietăţilor operaţiilor respective.

— Să efectueze calcul rapid.

Logaritmul unui număr pozitiv. Proprietăţi

— Exerciţii de logaritmare şi potenţiere a expresiilor al-gebrice.

II. Efectuarea de estimări si aproximări

— Să compare numerele reale prin diverse metode.

— Să aproximeze numerele date prin lipsă sau prin adaos.

Aproximarea numerelor reale, a diferitelor mărimi obţinute prin măsurări

— Exerciţii de rafinare a unei estimări date.

— Să estimeze şansa producerii unui eveniment şi să dea justif icări pentru estimarea propusă.

— Aserţiuni asupra unor evenimente care se vor pro-duce în viitor.

— Activităti practice şi jocuri didactice.

III. Recunoasterea si utilizarea unor elemente de logică matematică din teoria mulţimilor si combinatorică

— Să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmatii cu ajutorul exemplelor, contraexemplelor, proprietăţi-lor operaţiilor algebrice, predicatelor etc.

— Să opereze cu noţiunile : ipoteză, concluzie, demon-straţie, teoremă, axiomă, definiţie, teoremă directă, teo-remă reciprocă, negaţie, implicaţie, echivalenţă, conjuncţie, disjuncţie, operator logic, tabelă de adevăr ş. a.

Elemente de logică matematică. Elemente de calcul propoziţional

— determinare a valorii de adevăr a propoziţiilor ce conţin operatorii logici „şi", „sau", „non";

— determinare a valorii de adevăr a propoziţiilor com-puse de tipul : p->q, p<->q, l(p->q) prin exemplificări de ecuaţii, inecuatii ş. a;

— Să recunoască predicatele si să determine valoarea lor de adevăr, echivalenţa lor.

— Să facă generalizări şi să le verifice prin diverse modalităţi (exemple, contraexemple, formule, proprietăti, tabelă de adevăr etc.).

*Elemente de calcul al predicatelor. Cuantif icatorii existenţial şi universal. Reguli de negaţie

— *apreciere a valorii de adevăr a predicatelor;

— Activităţi individuale, în grup, practice, jocuri didactice ce duc la înţelegerea şi utilizarea elementelor însusite.

— Să utilizeze în diverse contexte relaţiile de incluziu-ne si egalitate între mulţimi; relaţia de apartenenţă a elementelor unei mulţimi; să determine submulţimile unei mulţimi ş. a.

Relaţia de egalitate între mulţimi

— determinare a elementelor unei mulţimi de numere definite în diferite moduri;

— folosire a relaţiei de apartenenţă, nonapartenenţă unei mulţimi.

— **Să recunoască şi să utilizeze diverse variante ale metodei inducţiei matematice.

Operaţii cu mulţimi. *Proprietăţi de bază Combinatorica. Permutări. Aranjamente. Combinări. Inducţia matematică. Noţiune de inducţie şi deducţie. Metoda inducţiei matematice. **Alte variante ale metodei inducţiei matematice

— demonstrare a identităţilor matematice folosind metoda inducţiei matematice;

— **demonstrare a unor propoziţii matematice folosind alte variante ale metodei inducţiei matematice.

IV: Calcul algebric. Rezolvarea de ecuatii, inecuaţii sisteme si totalităţi

— Să efectueze transformări identice ale expresiilor transcendente.

— Să aprecieze rigoarea, ordinea şi eleganta în arhitec-tura rezolvării ecuaţiilor şi inecuaţiilor.

Transformarea expresiilor transcendente. * Ecuaţii iraţionale

— *Rezolvarea ecuaţiilor şi inecuaţiilor irationale, apli-cînd diverse metode.

— *Să utilizeze diverse metode de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale de tipul:şi reductibile la ele.

— * Să rezolve inecuaţii iraţionale de tipul

(semnul „<" poate fi înlocuit cu). Si reductibile la ele.

— Să utilizeze diverse metode de rezolvare a ecuaţiilor, inecuaţiilor exponenţiale şi logaritmice.

*Inecuaţii logaritmice

*Exerciţii de utilizare a proprietătilor de echivalenţă a ecuaţiilor, inecuaţiilor iraţionale. — Exerciţii de rezolvare a ecuaţiilor exponenţiale de tipul: a^f(^x) =as(^x) şi celor ce se reduc la ele.

— Să recunoască şi să utilizeze identităţile fundamen-tale şi formulele indicate la conţinuturi în diverse contexte.

Sisteme şi totalităţi de ecuaţii exponenţiale şi logaritmice. Măsura unghiului în grade, radiani ş.a. Cercul trigonometric. Identităţi trigonometrice fiirtdaiheti-tale. Formule de reducere. Identităţi trigonometrice uzuale

— transformare a măsurii unghiului din grade în radi-anişireciproc;

pe cercul trigonometric;

— determinare şi evaluare a valorilor expresiilor trigonometrice.

— Să recunoască ecuaţiile şi *inecuaţiile trigonometrice.

— Să aplice elemente de trigonometrie în diverse do-menii.

Ecuaţii trigonometrice. *Inecuatii trigonometrice

— celor mai simple;

— de forma sinf(x)=sing(x), cosf(x)=cosg(x), tgf(x)=

tgg(x);

— de forma asinx±bcosx=c utilizînd substituţia unei variabile;

— **Rezolvarea ecuaţiilor si inecuaţiilor trigonometrice nestandard.

— Să utilizeze aceste concepte pentru rezolvarea problemelor din cotidian; să remarce utilitatea lor (pentru practică).

Mulţimi ordonate. Permutări (fără repetări). Noţiunea de factorial. Aranjamente (fără repetări). Combinări. Unele proprietăţi ale combinărilor. Aplicaţii ale analizei combinatorii în teoria probabilităţilor, în cotidian

Exerciţii semnificative care să evidenţieze avantajele folosirii relatiilor între P_n, A_kⁿ C_n^k

Exerciţii de rezolvare a ecuaţiilor, *inecuaţiilor, sistemelor ce conţin factorialul unui număr natural.

— rezolvare a ecuaţiilor şi *inecuaţiilor ce conţin simbolurile: P_n, A_n^m C_n^m

— **rezolvare a sistemelor de ecuaţii, inecuaţii ce conţin simbolurile: P_n, A_n^m C_n^m

**Crearea, analiza şi rezolvarea de probleme cu caracter combinatoric.

— Să utilizeze formula termenului general din dezvoltarea binomului lui Newton în diverse contexte *Să utilizeze proprietăţile coeficientilor binomiali la rezolvarea diverselor probleme.

Binomul lui Newton

Formula termenului general. Aplicaţii. *Proprietăţile coeficienţilor binomiali

— dezvoltare a puterii unui binom;

— determinare a termenului de anumit rang din dezvoltarea binomului;

— determinare care termen din dezvoltare conţine o variabilă dată la puterea dată.

V. Organizarea datelor si utilizarea unor elemente de statistică si probabilităţi

— Să recunoască si să utilizeze noţiunea de eveniment ataşat unui experiment; să clasifice evenimente după diverse criterii.

— Să reprezinte rezultatele observaţiilor prin desene şi tabele şi să extragă inf ormaţii din tabele, liste, diagrame etc. şi să reprezinte relaţii prin diagrame.

Evenimente. Eveniment sigur, imposibil. Operaţii cu evenimente. *Evenimente compatibile, incompatibile, dependente şi independente.

— Exerciţii privind efectuarea operaţiilor cu evenimente.

— Să determine valoarea medie a variabilei aleatoare.

— Să determine modulul, mediana, frecvenţa seriei statistice.

Frecventa absolută şi relativă a eveni-mentului. Probabilitatea evenimentu-lui. Valoarea medie. **Dispersia. Unităţi statistice, populaţie statistică. Compararea datelor. Reprezentarea grafică a seriilor statis-tice. Media aritmetică, modul, mediana, sondaje (exemple din cotidian)

— identificare a unor asemănări între anumite elemente ale unei multimi;

— transpunere a unei relaţii dintr-o formă de descriere în alta;

— comparare a graficelor mai multor fenomene, realizate în acelasi sistem de coordonate;

— analiză a datelor unor probleme pentru verificarea noncontradicţiei, suficienţei si eliminarea informaţiilor neesenţiale;

— Să aplice curba lui Gauss pentru a determina repar-tizările normale ale datelor.

Aplicaţii ale organizării datelor. Curba lui Gauss

— de efectuare a experimentului;

— calculul mediei unui set de date;

— calculul probabilităţii unor evenimente egal probabile.

VI. Recunoaşterea şi utilizarea unor relaţii, funcţii, siruri

— Să recunoască si să utilizeze noţiunea de funcţie, graficul funcţiei în diverse contexte.

Funcţii reale. Noţiune de functie. Moduri de defini-re a funcţiei.

— Exercitii de:

— recunoastere a funcţiei elementare fiind dată repre-zentarea grafică a ei;

— *Să utilizeze transformări pentru reprezentări de grafice ale funcţiilor.

Graficul funcţiei. Proprietăţi ale funcţiei referitoare la monotonie. Paritatea, periodicitatea, mărginire, zerouri, extreme). Funcţii injective, surjective, bijective. Funcţii inversabile. * Compunerea funcţiilor. Funcţiile elementare principale. Proprietăţile şi graficele lor. *Funcţiile trigonometrice inverse. Proprietăţile şi graficele lor. **Alte funcţii

— *de determinare a f uncţiilor :f ° g, g ° f, f ° f ⁴, g-¹°g-— de utilizare a proprietăţilor funcţiilor elementare principale pentru construirea graficelor şi în alte contexte. Activităţi practice şi jocuri didactice.

VII. Localizarea în plan si spatiu si utilizarea unor transformări geometrice

— Să interpreteze modelul axiomatic de construire a geometriei.

— Să clasifice afirmaţii aplicînd diverse criterii (lemă, consecinţă, directa, reciproca, contrara, reciproca contrarei sau contrara reciprocei).

Elemente ale sistemului axiomatic al geometriei plane, geometriei în spaţiu

— rezolvare a diferitelor tipuri de probleme, utilizînd : axiome, noţiuni, şi relaţii de bază ale geometriei în plan şi spaţiu.

— *Folosirea propoziţiilor matematice studiate în reali-zarea unor secvenţe de raţionamente.

— Să reprezinte în plan configuraţii geometrice.

Sistem de coordonate în plan şi în spaţiu. Poziţia relativă a punctelor faţă de dreaptă, plan, a două drepte, dreptei şi cercului, dreptei şi planului, a două plane

— Probleme de reprezentare în plan a corpurilor geometrice şi a poziţiei relative între ele.

— Să interpreteze reprezentări plane ale configuraţiilor spaţiale, să imagineze corespondenţa spatială a acestora şi să extragă din aceste reprezentări elemente semnificative.

— Să recunoască şi să utilizeze figurile congruente si asemenea în diverse contexte.

Congruenţa şi asemănarea figurilor. Teorema lui Thales, consecinţe. *Condiţii de concurenţă (*teorema lui Ceva ş. a.) *Condiţiile de coliniaritate (teorema lui Menelaus, relaţiile lui Stewart, **teorema lui Dezaurgous ş.a.)

— utilizare a cazurilor de asemănare în diverse contexte. *Probleme de concurenţă, de coliniaritate, de determinare a locului geometric. Probleme de utilizare a proprietăţilor figurilor plane în diferite contexte.

— plane paralele în diverse contexte.

— Să recunoască, să descrie şi să deseneze drepte per-pendiculare, drepte perpendiculare pe plan.

— Să recunoască şi să utilizeze criteriile de perpendi-cularitate a două drepte, a dreptei si a planului, a două plane în diverse contexte.

Drepte paralele în plan, în spaţiu, proprietăţi. Dreapta paralelă cu planul, proprietă-ţi, criteriu. Unghi dintre două drepte în plan si în spaţiu. Plane paralele, proprietăţi, criteriu. * Secţiuni cu plane ale corpurilor geometrice. Drepte perpendiculare (în plan şi spa-tiu). Dreaptă perpendiculară pe plan. Proiecţii ortogonale pe plan. Unghiul dintre dreaptă şi plan. Teorema celor trei perpendiculare. Plane perpendiculare. Criteriu. Proprietăţi

Exerciţii de:

— identificare a paralelismului dreptelor;

— Probleme de utilizare a criteriilor de perpendiculari-tate a două drepte, a dreptei şi planului, a două plane în diverse contexte.

— Probleme de identificare a dreptelor perpendiculare, a dreptei perpendiculare cu un plan, a planelor perpendiculare.

VIII. Recunoaşterea figurilor şi a corpurilor geometrice. Utilizarea unor elemente de geometrie metrică

— Să recunoască si să utilizeze relaţiile metrice în tri-unghi în diverse contexte.

— Să aplice elemente de trigonometrie în geometrie.

— Să recunoască figurile geometrice plane din cadrul figurilor spaţiale în contextul paralelismului şi al perpendicularităţii figurilor.

Relaţii metrice în triunghi. Teorema sinusurilor, teorema cosinu-sului etc. Unghi diedru. Unghi liniar al unghiu-lui diedru. Distanţa de la punct la dreaptă, de la punct la plan. Proiecţia ortogonală a figurii pe un plan. Relaţia între aria figurii şi aria proiecţiei ei pe plan. *Secţiuni cu plane în corpuri geometrice (plane perpendiculare pe feţele corpului geometric)

Probleme de calcul al elementelor unui triunghi; linii-lor importante în triunghi. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie. Exerciţii de calcul al lungimilor unor elemente liniare, al măsurilor unghiurilor. Probleme de reprezentare a proiectiei ortogonale a fi-gurilor plane (în baza proprietăţilor proiecţiei ortogo-nale). Probleme de calcul al lungimilor unor elemente liniare, al ariei figurii obţinute (sau care se proiectează) în ur-ma proiecţiei ortogonale a unei figuri plane. *Probleme de calcul al lungimilor unor elemente linia-re, unghiurilor, ariei figurii (sau a unei părţi a ei) care se obţine în urma secţionării unui poliedru cu un plan. *Probleme de construcţie, calcul şi demonstraţie unde se utilizează paralelismul şi perpendicularitatea.